LUAS, ÁREAS E QUADRATURAS - UM PROBLEMA E MUITOS SÉCULOS NA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

Abstract

Nosso objetivo, com este trabalho, é traçar o percurso histórico da solução do problema da quadratura das luas, dando destaque aos seus principais episódios, nos mais de dois milênios para que se chegasse à sua resposta final, que aguardou pelo desenvolvimento do conhecimento matemático e das técnicas necessárias ao progresso na sua solução. As civilizações mais antigas desenvolveram técnicas ou práticas para medição e cálculo de áreas associadas a figuras geométricas simples como triângulos, quadriláteros e regiões poligonais. Os gregos, dada a importância das construções com a régua sem escala e o compasso, por volta do século V a.C., estabeleceram o procedimento da quadratura para obter a área de uma figura geométrica. Desde aproximadamente 500 a.C., uma pergunta esteve presente entre os matemáticos e só foi completamente respondida no século XIX: é possível construir, com régua sem escala e compasso, um quadrado equivalente a um círculo? A partir da noção de quadratura, vamos examinar exemplos que foram estudados por Hipócrates de Chios, relacionados à quadratura de regiões especiais, limitadas por arcos de circunferência, as chamadas luas. Foram as primeiras quadraturas efetuadas para regiões não poligonais, baseadas em métodos elementares de comparações de áreas. Percorreremos o caminho histórico do problema da quadratura das luas, num trajeto determinado por uma pesquisa bibliográfica e documental. Começando com o trabalho de Hipócrates, examinaremos mais detalhadamente, entre outras, as contribuições de Ibn Al Haytham, no século X e de Wallenius, no século XVIII, esta última obtida com o auxílio das fórmulas da trigonometria de Viète, do início do século XVII. Apenas na primeira metade do século XX provou-se que os cinco exemplos até então conhecidos descreviam todas as luas cuja quadratura é possível. As questões e ideias originais e seus desdobramentos ao longo da história nos propiciam uma oportunidade para analisar o desenvolvimento dos conceitos e do pensamento matemático.